Teremin

      A teremin egy elektronikus hangszer, Léon Theremin orosz fizikus találmánya 1919-ből. A zenész kezeivel egy-egy antenna elektromágneses mezejét zavarja meg, amitől kapacitívabb lesz a talpponti impedanciája, ez pedig az antennára kapcsolt oszcillátor frekvenciáját módosítja.

      Az antennák egymásra merőlegesek, hogy ne zavarják egymás elektromágneses mezejét, valamint hogy a kézmozdulatok iránya is különböző legyen. A függőleges körsugárzó antenna a hangmagasságért, a vízszintes hurok antenna a hangerőért felelős. Ahogyan a zenész keze közeledik a függőleges antennához, a hangmagasság emelkedik, a hurokantennához közelítve pedig a hangerő csökken. A teremin összesen öt rezgőkört tartalmaz: a hangmagasság antenna rezgőköre, a hangmagasság oszcillátor, a hangmagasság referencia oszcillátor, a hangerő antenna rezgőköre és a hangerő oszcillátor. Az oszcillátorok frekvenciája 500kHz alatti, így az antennák a hosszúságukból adódóan nem tudnak távoltérbe számottevő teljesítménnyel sugározni. Inkább a kondenzátor-hatás érvényes, ahol fegyverzet földelt oldala a zenész keze (kis áramerősségnél és magas frekvencián a kéz földelést képez az antennához képest), mely a másik fegyverzethez közeledve növeli a kondenzátor kapacitását. Nem növel sokat (néhány pF), de eleget ahhoz, hogy a hallható tartományba átfordítva érződjön a különbség. Mindenik antennához tartozik egy sorba kapcsolt tekercs (vagy tekercs sor), mely az antenna sajátpakacitásával együtt az oszcillátorok frekvenciájával egyező rezonanciafrekvenciát biztosít.  A tekercsek parazita kapacitása növeli ugyan az antenna kapacitását, viszont használata szükségszerű a rezonanciafrekvencia biztosításához. A megnövekedett kapacitás csökkenti az antenna érzékenységét, vagyis a kéz közelsége már nem fog akkora kapacitásváltozást idézni és a hangmagasság illetve a hangerő csak az antenna közelében fog változni. Hogy mégis kicsi maradjon az antenna kapacitása, érdemes sorba kapcsolni több kis induktivitású tekercset, mely által a kéz okozta kapacitásváltozás is lineárisabb lesz. A tekercsek nélkül nehéz lenne játszani a hangszeren, ugyanis a hangmagasság az antennától távol lassan, majd egyre gyorsabban változna, oktávokat ugorva át pár milliméteres kézmozdulatra. Az antennák formája nem kritikus, a hangerő antenna hurok formája könnyebb kezelhetőséget biztosít, ugyanis oldalról közelítve gyorsabb, felülről közeledve pedig lassabb hangerőváltozást idéz. Mivel az oszcillátorok frekvenciája jóval az audio frekvenciák felett van, nem lehet közvetlenül felhasználni. Ha viszont egy azonos frekvenciájú, de konstans oszcillátor jeléből kivonjuk ezt, akkor a jelkülönbség a hallható tartományba fog esni.

A hangmagasság oszcillátor egy LC oszcillátor, amely stabil állapotban kb. 270kHz-en rezeg. Ez a frekvencia megegyezik az antenna saját rezonancia frekvenciájával, melyet az antennával sorba kapcsolt induktivitás és az antenna sajátkapacitása határoz meg. Amikor a zenész a tekercshez kapcsolt antennához közelíti a kezét, az LC áramkör kapacitása növekedni kezd és az oszcillátor frekvenciája csökken. Ez és a szintén 270kHz-es referencia oszcillátortól érkező jelek egy heterodin mixerbe kerülnek, melynek kimenetén a két frekvencia összege és különbsége egyszerre lesz jelen. Az összegjel ki van szűrve, hisz az még az oszcillátorok frekvenciánál is magasabb. A mixer kimenetén csak a különbségjel van, ami már a hallható tartományba esik, akár rá lehetne kapcsolni egy audio erősítőre. Minél közelebb van a zenész keze az antennához, annál kisebb frekvencián rezeg a hangmagasság-oszcillátor és annál nagyobb lesz a jelkülönbség, azaz nő a mixer kimenetén lévő frekvencia (hangmagasság).

A hangerő-oszcillátor az audio jel amplitúdóját szabályozza. Akár a hangmagasság-oszcillátor, a hangerő-oszcillátor frekvenciája is lecsökken, ahogy a zenész a kezét a hurok-antennához közelíti. A frekvencia ebben a rezgőkörben kb. 450kHz melyet a zenész a kezével befolyásol és a változás mértéke DC jel formájában jut el a VCA-hoz (Voltage Controlled Amplifier). A hangerő antennával sorba kapcsolt induktivitás és sajátkapacitás szintén 450kHz-es rezonancia frekvenciával rendelkezik.

A VCA negatív vezérlő DC jelre a bemenetére kapcsolt audio jelet felerősíti. A DC jel annál negatívabb minél távolabb van a zenész keze a hangerő antennától. Az antenna fele közelítve megváltozik az antenna rezgőkörének frekvenciája és a DC jel 0V fele változik, amitől elhalkul a VCA kimenete. Az itt lévő jelet egy audio erősítő felerősíti a hangszórónak megfelelő teljesítményre.

A oszcillátorok tartalmaznak egy-egy potenciométert, amivel hangolni lehet. Ez azért szükséges, mert bármilyen vezető objektum a hangszer közelében megváltoztatja a hangmagasságot vagy a hangerőt. Ide tartoznak a nagy fémtárgyak, vagy az élőlények is, ezért a tereminen játszó zenész privát szférája legalább 3m kell legyen, mert kb. ekkora az antennák közeltéri lefedettsége. A következő kapcsolási rajzok az EM teremin tervei alapján készültek.

Hangmagasság referencia oszcillátor és hangoló

A hangmagasság referencia oszcillátor kb. 270kHz rezonancia frekvencián rezeg, vagyis az LC tagok értékei rendre 100μH és 3.3nF a szabvány értékek.

\[f_R=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{100\cdot 10^{-6}[\mathbf H] \cdot 3.3\cdot 10^{-9}[\mathbf F]}}=277[\mathbf{kHz}]\]

Az oszcillátor és hangolójának kapcsolási rajza:

A T1 és T2 tranzisztorok a C1 és L1 által meghatározott rezonancia frekvencián kapcsolgatnak. A pontos beállítás érdekében érdemes L1 tekercset szabályozható tekercsre cserélni. A hangoló egy aktív impedanciát képvisel, mely a rezgőkör kapacitásán módosít, amit kezelőpultra kivezetett P1 potenciométerrel lehet szabályozni. A régi elektroncsöves teremin ez helyett passzív forgó kondenzátort használt, ám ilyet ma nehéz találni. A szabályzás kismértékű, 0-3kHz-et változik az oszcillátor frekvenciája. A szimulációban a beállított P1 értékekkel (2.5k) a rezonancia frekvencia kb. 272kHz.

A saját változat újrahasznosított alkatrészekből:

A kimenő jel:

A kimenő jel az 5k potenciométerrel kb. 3kHz-et állítható. Az előlapra vezetett potenciométer neve „Frekvenciakorlát”, amit középre kell csavarni a hangoláskor.

Hangmagasság oszcillátor és antenna

      A hangmagasság oszcillátor is kb. 270kHz-en rezeg, az áramkör ugyanaz, mint a referencia oszcillátor áramköre. A hangoló ezúttal az antenna, mely az oszcillátor frekvenciáját befolyásolja. Amikor az antenna frekvenciáját a zenész a kezével megváltoztatja, eltolódik hangmagasság oszcillátor frekvenciája is, hiszen „leterhelődik”. Minél közelebb kerül a kéz az antennához, annál nagyobb a különbség a két rezgőkör között. Az antennával sorba kapcsolt tekercs (40mH) és az antenna saját kapacitása (8-9pF) is kb. 270kHz-en rezonál:

\[f_R=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{40\cdot 10^{-6}[\mathbf H] \cdot 9\cdot 10^{-9}[\mathbf F]}}=265[\mathbf{kHz}]\]

A 40mH tekercs lehet több sorba kapcsolt 1.2mH tekercs is, hogy kisebb parazita kapacitással rendelkezzen. Az eredeti EMTheremin / Etherwave áramkörben négy darab sorba kapcsolt 10mH tekercs található.

Ezek rádiófrekvenciás tekercsek, melyek mindegyikén 3 darab sorba kapcsolt különálló kisebb tekercs van, vagyis a 40mH igazából 12 darab 3.33mH tekercsből áll.

Az antennához közeledő kéz kb. 3kHz frekvencia csökkenést okoz, ami három és fél oktávemelkedést jelent a középső C hangjegy felett. A távolodó kéz pedig 2 oktávot csökkent a középső C alatt. Az L1 és L2 tekercsek változtatásával ezek a korlátok állíthatók. Az antenna hatósugara ezzel nem változik, hanem a hangjegyek közti távolság nő vagy csökken. Ehhez az antenna rezonancia frekvenciáját is meg kell változtatni, ami az antenna és a tekercset összekötő szilárd vezeték elmozdításával történik a földre kapcsolt fém lap irányába. A kis távolság a fémlemez és a vezeték között kb. 4 oktáv korlátot, a nagy távolság kb. 6 oktáv korlátot jelent az EMTheremin verzióban.

A két hangmagasságért felelős oszcillátor hangolásakor a „Frekvenciakorlát” potenciométer középső állásban van, és L1 valamint L2 értéke változik. A hangolás akkor ér véget, amikor a kéz kb. 40-50cm távolságra van a hangmagasság antennától, és a hangszer csendben van. Ilyenkor a két oszcillátor szinkronban dolgozik és a jelkülönbség a mixerben nulla amplitúdójú jelet produkál. A potenciométer állítása ezek után gyakorlatilag az antenna kapacitását szabályozza, azaz hogy milyen kéz-antenna távolságban legyen csendben a hangszer.

A DIY verzióban hangmagasság antenna egy nyomtatóból kiszerelt tömör henger:

A hangoló fémlemez végül nem vált be, a „Frekvenciakorlát” potenciométer tekerése ugyanazt a hatást eredményezi, mint a fémlemezhez közelebb vagy távolabb helyezett vezeték.

Mixer

A mixer egy rendkívül egyszerű áramkör, melynek nincs szüksége különösebb beállításra. A feladata, hogy kombinálja a jeleket a referencia és a változó oszcillátorból, és a kimenetén audio jelet adjon.

A C8 és C9 kondenzátor összegzi az oszcillátorok jeleit, D1, R15, R16 és C10 pedig kiveszi a frekvencia különbséget. Az audio jel R16 és R15 közös pontjáról vehető le. A zenész keze által bevitt kapacitást a szimulációban az antennára kapcsolt kondenzátorral lehet helyettesíteni, ami az oszcillátor frekvenciáját 275kHz-re módosítja. A Mixer kimenetén a referencia oszcillátor és a hangmagasság oszcillátor módosított frekvenciájának különbsége mérhető, ami kb. a 3kHz hallható tartományba esik.

A frekvenciaspektrum tartalmazza a mixer két bemenetének komponenseit is, ezáltal a kimeneten nem tiszta szinusz, hanem a bemenő frekvenciákkal modulált jel látható, ami kellemesebb hangzást nyújt.

A megépített áramkör kimenetén a kézmozdulattal arányos frekvenciaváltozás mérhető.

Hangerő oszcillátor és hangoló

A hangerő oszcillátor kb. 450kHz rezonancia frekvencián rezeg, amit L5+L6, C12 és C13 kondenzátorokkal lehet hangolni. Az antenna rezgőköre 15mH soros induktivitással adja kb. 450kHz-es rezonanciát:

\[f_R=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{15\cdot 10^{-6}[\mathbf H] \cdot 9\cdot 10^{-9}[\mathbf F]}}=433[\mathbf{kHz}]\]

A C19 és D2 egy AM detektor, amely a bejövő jel burkoló görbéjét detektálja és egyenirányítja. A jelet az L5 tekercsről kapja, melyen akkor a legnagyobb a feszültség, amikor az antenna és a hangerő oszcillátor frekvenciája megegyezik. Ha a zenész kezével beavatkozik az antenna kapacitásába, akkor a tekercseken lévő feszültség csökken. A D2 dióda iránya dönti el, hogy a pozitív vagy negatív oldalát detektálja a jelnek, hisz az áram csak egy irányba folyhat rajta. A DC kimenet kb. 0V és -4V között változik attól függően, hogy az antenna rezgőköre mennyire van szinkronban a hangerő oszcillátor frekvenciájával, és hogy mekkora induktivitású részét mérjük a tekercsnek. Az áramkör akkor kell szinkronban legyen, amikor a zenész keze távol esik tőle. Ilyenkor a negatív DC feszültség maximális és megvezérli a VCA-t ami átengedi az audio jelet a kimenetre. A hangolás során L4 induktivitását kell változtatni, míg a DC kimenet a lehető legnegatívabb lesz, ugyanis annál nagyobb mértékben engedi át a hangot a VCA. A hangoló áramkör majdnem hogy azonos a hangmagasság hangolójával, a P2 potenciométerrel a frekvenciát lehet finoman szabályozni.

A DC kimenet a megépített változatban csupán -350mV-ig megy, részben mert a hurokantenna és a hangerő oszcillátor rezonancia frekvenciája nem teljesen egyezik, másrészt mert kis induktivitáson (1.2mH) történik az egyenirányítás.

A DC jel tulajdonképpen a hangerő oszcillátor frekvenciáját tartalmazza, hiszen a C19 kondenzátor közvetlenül a DC kimenetre csatolja a hangerő oszcillátor kimenetét. A VCA ennek a középértékével törődik, ami 0 és -4V között mozoghat. A kezet közelítve a hangerő antenna fele szinusz jel feljebb ugrik, így a középérték is közelebb kerül 0V-hoz:

A kéz közelsége gyakorlatilag a szinusz jel DC offset-jét állítja. Amikor a jel már annyira felemelkedett a vízszintes tengelyhez, hogy az amplitúdó maximum és minimum egymás ellentettje, akkor megszűnik a DC komponens és a jel középértéke nulla lesz.

A hangerő oszcillátor beállítása középértékre állított „Amplitúdókorlát” (P2) potenciométerrel kezdődik. Ezután L4 értékét addig kell változtatni, míg a hangszer a legnagyobb hangerővel szól, ugyanis ekkor a legnegatívabb DC kimenet. A következő lépés az antenna érzékenységének vizsgálata. A hangszernek nem csak közvetlenül az antenna érintésekor, hanem amikor a kéz még csak félúton van, már akkor halkulnia kell. Szintén L4 állításával érhető ez el. Az „Amplitúdókorlát” tekerése ezek után azt szabályozza, hogy milyen távolságra halkuljon el a hangszer.

A hangerő antenna az eredeti EMThereminben fémcsőből készült, a saját változatban azonban egy műanyag cső lett a hagyományos formára hajlítva, belsejébe pedig a földeléshez használt 1.5mm-es rézvezeték került.

VCA - feszültségvezérelt erősítő

      A VCA (Voltage Controlled Amplifier) egy feszültségszint segítségével szabályozza a bemenetére kapcsolt jel erősítésének mértékét. A megépített VCA-ban az LM13700 szabályozza a kimenő teljesítményt, ám használható LM13600 vagy NE5517 is. A lábkiosztása mindnek azonos.

Az LM13700 két transzkonduktancia erősítőt (OTA - Operational Transcoductance Amplifier) tartalmaz (U1A és U1B).

A 13. lábon lévő ellenálláson a hangerő oszcillátor DC kimenetével arányos áramerősség mérhető, melyet U1B felerősít a 12. lábon, majd a másik erősítő (U1A) nyereségét vezérli vele (1. láb), mely a bemenetére kapcsolt audio jelet (3. láb) erősíti fel. A 12. lábon mérhető feszültségszint -12V és +12V között változik a vezérelő DC szint függvényében. A teremin hangerő oszcillátora akkor van helyesen behangolva, ha a 12. lábon +12V mérhető mikor a zenész keze távol esik az antennától, és -12V mikor már érinti. Ez ugyanis a két véglet, ami között az 13. lábra kapcsolt ellenálláson mérhető áramerősség változhat. A saját változatban ez csupán -12V és +6V, a nem megfelelő hurokantenna miatt, ám a VCA kimenetére kapcsolt audio erősítő kompenzálja majd a veszteségeket.

Az U1A erősítőnek teljesítménye az U1B kimenetétől függ, kimenete pedig formálható változtatván az invertáló bemenet ellenállását a P3 („Vágó”) potenciométerrel, mely levágja a hullámok csúcsait, vagy szimmetrikusan előfeszítve mindkét bemenetet a P4 („Szélesítő”) potenciométerrel, mely a hullámforma szélességét növeli hangszínezve a kimenet spektrumát.

A földre kapcsolt RC aluláteresztő szűrők (R32-C14 és R36-C15) levágják a túl magas frekvenciás harmonikusokat, hogy csellószerű hangzása legyen a Tereminnek.

Középértékre állítva a „Vágó” és a „Szélesítő” potenciométereket, a VCA kimenete:

Az audió kimenet szinzszból kvázi-négyszögjellé alakítható a mindkét potenciométer maximumra állításával, mely hangzása jobban hasonlít az eredeti elektroncsöves tereminhez:

A hangszín további két véglete:

Tápegység:

      A tápegység +/- 12V feszültséget biztosít a teremin számára. A fogyasztás 30-40mA, így az 7812-7912 stabilizátorok elegendőek. 

Hűtés nélkül sem melegednek, ám ebben az esetben az audio erősítő is erről a tápról üzemel, ezért szükség lehet hűtésre. A bemenet 14-15V váltóáram.

A tereminnek szüksége van földelésre, hogy az antennák kapacitás változása a kéz hatására megfelelően történjen. Ellenkező esetben a magas frekvenciás áramok nem találnak utat a földre és az antenna begerjedhet vagy ingadozhat a hangszer hangzása. A stabil működéshez és jó hangszínhez a 0V kivezetést a villamos hálózat földeléséhez kell kötni.

Erősítő (TDA2030):

A TDA2030 adatlapján lévő 14W-os teljesítményre képes kapcsolás erősíti fel a VCA kimenetét:

Mivel az erősítő is a teremin dobozába kerül, TV-ből kiszerelt kis műanyag hangdobozokat kell, hogy meghajtson. 

Ezek teljesítménye azonban 4-5W, így az erősítő kimenetét korlátozni kell. Sokat segít, hogy a VCA kimenete nem maximális, azonban a pirossal jelölt módosítások is csökkentik a kimenő teljesítményt. A hangszóróval sorba kapcsolt 1W-os ellenállás elhanyagolható torzítást okoz az erősítő kimenetén:

A 300 ohmos potenciométer és a rajta lévő 2.2k ellenállás szintén csökkenti szabályzási tartományt anélkül, hogy terhelné a VCA kimenetét.

A hűtőborda jórészt felesleges, ám nem árt felkészülni arra, ha később külső hangszórónak is lesz kimenet.

Dobozban: 

A doboz semmiképp sem lehet fémből. Fából vagy műanyagból érdemes készíteni (a fenti esetben ezek kombinációja), mert így nem kell elszigetelni a földtől és az antennáktól, valamint nem okoz parazita kapacitást az antennák környékén. Kisebb fémfelület, mint a transzformátor, vagy a hűtőbordák nem okoznak gondot. Az elejét, hátulját és tetjét alkotó átlátszó műanyag ugyanannak a TV-nek képernyőjéből származik, mint amiből a hangszórók.

A tápcsatlakozókra forrasztott LEDek jelzik a hangszer üzemét.

A komplett teremin készlet megvásárolható a Thereminworld.com-on 300-500 dollárért. A fent leírt házi gyártású változat alig került 10 dollárba, hisz csak az antennához tartozó tekercseket és az IC-t kellett megvásárolni, a többi bontott alkatrész volt. A felhasznált alkatrészek igencsak gyakoriak rádiókban, erősítőkben, tévékben. Sok bontott tekercs próbára került, ám ezek kritikus alkatrészek és ennyi egyforma nem volt egyszerre. Talán előnyösebb lett volna minden áramkört egyetlen NYÁK-ra pakolni, hogy a kábelek ne zsúfoljanak, ám a modulokkal könnyebb kísérletezni és átláthatóbb a felépítés. A hangamagasság és a hangerő antenna tekercs blokkjai minél távolabb kell kerüljenek egymástól és a hozzuk tartozó oszcillátorok minél közelebb a tekercsekhez. A hangmagasság oszcillátorai (referencia- és hangmagasság) minél közelebb vannak egymáshoz, annál könnyebben egymásra tudnak hangolódni. A két oszcillátort C8 és C9 lazán csatolja, és ha elég kicsi a távolság mixer és a két oszcillátor között, akkor a két oszcillátor szinkronban jár.

Rádió Teremin

      Három analóg rádió szükséges, mely képes középhullámú vételre. Az AM illetve MW funkcióval rendelkező rádiókészülékek képesek erre a feladatra. Mindhárom rádiónak más funkciója van a teremin működését tekintve:

- az egyik vevő szerepet tölt be és egyúttal erősítő is, rajta szólal meg a teremin hangja, ezért érdemes érzékeny és nagy teljesítményű rádiót választani erre a feladatra.

- egy másik rádió adóként üzemel, ennek ellenére nem fontos, hogy nagy teljesítményű legyen, hiszen ha elég közel van a vevőhöz, akkor létrejön a rádiós kapcsolat.

- a harmadik zavaró szerepet tölt be, zavarja az adó jelét, ami majd hallható lesz a vevőkészülékben. Ez legyen közepes teljesítményű, minél nagyobb antennával, ami a teremin hangmagasság antennájaként szolgál.

- A vevő szerepét betöltő rádió az 1600kHz környékére állítva próbál meg adást befogni. Fontos, hogy ne legyen műsorszórás a kiválasztott frekvencián, mert elnyomhatja az adóként működő rádió gyenge jelét. A vevő hangereje legyen hallható szinten és az a frekvencia lesz megfelelő, ahol csak a folytonos zaj hallatszik.

- Az adónak bélyegzett rádió frekvenciája a vevő frekvenciájánál 455kHz-el legyen kisebb. Ha a vevő 1600kHz-en üzemel, akkor az adó 1145kHz-en lesz ideális, ekkor ugyanis a belső oszcillátora éppen 1600kHz-en fog rezegni, amit a vevő észlelhet, ha elég erős. Ennél a rádiónál nem számít, hogy van-e műsor a kiválasztott frekvencián, a hangerejét minimális szintre lehet állítani. (A rádiókról általánosságban tudni kell, hogy a rádióadás vivőfrekvenciáját megkeverik egy - a vivőfrekvenciánál nagyobb - saját belső oszcillátor frekvenciával, amit heteordinálásnak vagy frekvenciatranszponálásnak neveznek. A keverés eredménye egy olyan jel, ami tartalmazza a két frekvencia összegét és különbségét. Egy alul-áteresztő szűrő csak a különbséget engedi át, amit középfrekvenciának neveznek. az AM vevőkészülék esetén a középfrekvencia 455kHz és mindig ezzel dolgozik, így nem kell minden rádióadásnak külön demodulátort használni. A rádió hangolásánál igazából a belső oszcillátor frekvenciáját hangoljuk, a rádió mindig a középfrekvencián dolgozik.) A két rádió antennáját nem szükség kihúzni, hogy csakis a belső oszcillátor jele érvényesüljön. Addig kell az adó rádióval az 1145kHz környékén keresgélni, amíg a vevő rádió többé-kevésbé elhallgat. Ekkor ugyanis a belső oszcillátor éppen azon a frekvencián oszcillál, amin a vevő hallgatózik, és amit vesz az egy modulálatlan (üres / néma) adás.

- A harmadik rádió azért zavar, mert ugyanarra a frekvenciára van behangolva, mint az adó. A hangerejét minimumon lehet hagyni és az antennáját kihúzni, hisz ezen kell majd játszani. Mielőtt a helyére kerül, át kell alakítani, hogy az antennája a belső oszcillátor hangolásában játsszon szerepet. Alap esetben egy hangolókondenzátor állítja a belső frekvenciát, az, amelyikkel az adókat keressük. Szét kell tehát szedni a rádiót, megkeresni a hangoló kondenzátort és beazonosítani azt a kivezetést, amelyik az oszcillátor frekvenciáját változtatja. Legegyszerűbb módja ennek, ha a rádió üzemben van, és egy valós műsort vesz. Egy csavarhúzóval szerre hozzá kell érni mindenik kivezetéshez (általában 4 kivezetés van) miközben az ujj érinti a csavarhúzó fém felületét. Az a helyes kivezetés, amely érintésekor elhangolódik a rádió. Az antennát át kell kötni eredeti helyéről erre a kivezetésre.

A többi kivezetésen nem hangolódik nagymértékben el, hanem cserszegést visz az adásba, elhalkul, vagy éppen felerősödik a hangerő. Az átalakítás után össze lehet rakni a rádiót és az adóval azonos frekvenciára hangolni, miközben kb. 25-30cm-re van a másik két rádiótól. Az 1145kHz-es beállításban a belső oszcillátor 1600kHz-en rezeg, így az adóval szinkronban van, és egyszerre sugározzák a modulálatlan adást. Igen ám, de az antennához közeledő kéz kapacitása pár kHz-et változtat az oszcillátor frekvenciáján és ez a hallható tartományba eső delta a vevő hangszóróin is megszólal. A hangolás során elkerülhetetlen, hogy ne legyen közel a kéz az antennához, ezért akkor helyes a hangolás, amikor a vevő rádió megszólal. Innentől már csak kísérletezés kérdése, hogy milyen kéztávolságból hallgasson el a vevő hangszórója.

Gravitáció és idő

• Általános tömegvonzás
• Idődilatáció, kontrakció
• Görbült terek
• Görbült fény
• Szupergravitáció
• Tömegváltozás és tömegközvetítés
• Gravitációs hullámok
• Multiverzum
• Fénykúpok és zárt időgörbék
• Féregjáratok

Általános tömegvonzás

      Az univerzum alkotóelemei két csoportra oszthatók: anyagra, mint például az elektron és kölcsönhatásra, mint például a gravitáció. A gravitáció vagy tömegvonzás egy erő, mely a tömeggel rendelkező testek között fordul elő. Első ízben Newton vezette le a bolygókat pályán tartó erő ($\mathbf F$) általános képletét, mely skaláris alakban:

\[\mathbf F=G\frac{m_1 m_2}{r^2} [\mathbf N]\]

Az $m_1$ és $m_2$ a két test tömege, mely gravitációs kölcsönhatásban áll egymással, $r$ pedig a köztük lévő távolság a középpontjuktól mérve. A $G$ a gravitációs állandó, ami igazából nem volt benne Newton eredeti képletében, hanem tapasztalati mérések (Cavendish kísérlete - 1798) alapján volt a képlethez igazítva. Minél közelebb kerül a két test egymáshoz ($r$), annál nagyobb lesz köztük a gravitációs erő ($\mathbf F$). A két test egymás felé történő gyorsulása egyenesen arányos ezzel az erővel és fordítottan arányos a tömegükkel ($m$). Newton törvénye szerint a gyorsulás mértéke:

\[a=\frac{\mathbf F}{m}[\mathbf{m/s^2}]\]

A gyorsulást növeli a gravitációs erő ($\mathbf F$) és csökkenti a tömeg ($m$), azaz ha mozgás közben megnő a testnek a tömege, akkor gyorsulása csökken. Ezek a képletek kizárólag inercia rendszerben (nyugalomban vagy egyenletes mozgásban lévő rendszerben) teljesülnek és ott is csak pont- vagy gömbszerű testekre alkalmazhatók. Bonyolultabb vagy több test esetén a számítások is bonyolódnak, főként, ha nem inercia rendszerben, hanem gyorsuló, forgó koordinátarendszerben kell számolni. Newton gravitációról szóló megfigyelései a mai napig igazak bizonyos korlátokon belül. Nem pontosak nagy sebességeknél, mint a fénysebesség, vagy nagy távolságoknál, mint a galaxis központja körül keringő csillagok esete. Ezen kívül az elmélet nem magyarázza meg például hogy mi közvetíti a gravitációs erőt. A gravitációs erő nagyon hasonlít az elektromos kölcsönhatásból származó Coulomb erőhöz, melynek skaláris alakja:

\[\mathbf F=k\frac{Q_1 Q_2}{r^2}[\mathbf N]\]

A $Q_1$ és $Q_2$ a két pontszerű test elektromos töltése, mely elektromos kölcsönhatásban áll egymással, $r$ pedig a köztük lévő távolság. A $k$ a Coulomb állandó, amit a közvetítő anyag permittivitásának ($\epsilon$) függvényében is fel lehet írni:

\[k=\frac{1}{4\pi\cdot\epsilon}\]

A gravitációs állandót ($G$) nem lehet a Coulomb állandóhoz ($k$) hasonlóan felírni, hiszen a permittivitás az elektromosan polarizált közeget jellemzi, a gravitációs erőtér pedig nem polarizált. Nincsen tehát ellentétes töltésű oldala, nem lehet permittivitása sem. Ráadásul nem lehet leárnyékolni, különben instabillá válhatna például a bolygók mozgása a Nap körül. Egy másik probléma, hogy ez a gravitációs képlet nem függ az időtől. Általában minden fizikai jelenségnek van kezdete és vége, azaz meghatározható kéne legyen, hogy mikortól mérhető, milyen gyorsan terjed. Ha a Nap hirtelen eltűnne, akkor ez a Földön csak 8 perc elteltével válna egyértelművé, hiszen ennyi időbe telik, míg a Nap utolsó fénysugara is eléri a Földet. A bolygó eközben már nem az eredeti pályáján haladna, ami azt jelentené, hogy a gravitációs erőtér gyorsabban közvetíti az információt a fénynél.

Idődilatáció, kontrakció

      A newtoni fizika nem zárja ki a fénynél gyorsabban száguldó részecskék létezését. Ennek ellenére Maxwell és Faraday sikeresen egyesítette az elektromosság és mágnesesség elméletét leszögezvén, hogy az elektromágneses hullámok konstans sebességgel, a fény sebességével terjednek forrásukhoz képest. Lorentz és Hertz hamarosan a fény elektromágneses mivoltát is igazolta, később (1905) Einstein a speciális relativitás elméletben kifejtette, hogy miért konstans a fénysebesség.

      Kezdetben úgy gondolták, hogy utolérve a fényt akár megállni is látható, sőt el is kerülhető. Einstein viszont arra jutott, hogy nem lehet utolérni a fényt, mert az mindig fénysebességgel fog haladni az üldözőjéhez képest. Kívülről vizsgálva azt, ahogy egy fénysebességgel száguldó foton elhalad egy másik részecske mellett, ami a fény sebességének felével száguld, akkor az látszik, hogy a foton a részecskéhez képest a fény sebességének felével mozog. Ugyanakkor a részecske szemszögéből még mindig úgy tűnik, hogy a foton fénysebességgel távolodik tőle, tehát más-más sebességet mér a részecske és a külső megfigyelő. Mivel a fény sebessége a fényforrás vagy a vele együtt mozgó detektor sebességétől függetlenül állandó, nem lehet megállapítani, hogy ki mozog és ki áll a fotonhoz képest. Ezt csak a külső megfigyelő tudná elmondani, ám ő sem lehetne biztos abban hogy ő maga nem-e mozog valamilyen sebességgel a fényhez képest. Einstein a fénysebességet az idő múlásával kapcsolta össze, amit másképp érzékelnek a különböző sebességgel mozgó megfigyelők, elméletét a fényórával magyarázta.

A fényóra két egymással szembefordított tükörből és egy fotonból áll, amely a tükrökről verődik oda-vissza. Ha a foton sebessége $c$ és egy út ideje $t_0$, akkor a tükrök közti távolság $y=ct_0$:

Ha a fényóra $v$ sebességgel halad jobbra, akkor a külső stacionárius szemlélő a foton mozgását nem függőlegesnek, hanem ferde irányúnak fogja látni:

Míg a fényórát viselő belső szemlélő a foton útját $y$ hosszúságúnak látja, addig a külső szemlélő ezt $l=\sqrt{x^2+y^2}$ hosszúságúnak találja Pitagorasz tétele alapján. Mivel a foton sebessége konstans, kívülről nézve a foton úthossza $l=ct$ lesz, míg egyik tükörtől a másikig ér. Ugyanez a $t$ idő alatt a tükrök is megtesznek egy távolságot, melynek hossza $x=vt$. Ezeket behelyettesítve Pitagorasz tételébe kifejezhető $t$ értéke, ami a mozgó fényóra fotonjának úthosszát jelenti kívülről szemlélve:

\[(ct)^2 = (ct_0 )^2 + (vt)^2\] \[(ct_0 )^2 = (ct)^2 - (vt)^2 = t^2 (c^2 - v^2 )\] \[t_0 ^2 = \frac{t^2 (c^2 -v^2 )}{c^2}=t^2\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)\] \[t_0 = t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\] \[ t=t_0 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

Ezek szerint a kint mért időtartam ($t$) a stacionárius állapotban mért időhöz ($t_0$) képest hosszabb. A növekedési tényező legyen $\gamma$:

\[\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\] 
\[t=t_0 \gamma\]

Aki a fényórával halad és nem tekint ki, észre sem veszi ezt a változást, számára a fényóra fotonja ugyanúgy $t_0$ ideig halad egyik tükörtől a másikig, akár stacionárius állapotban és minden fizikai kísérlet amit odabent elvégez, helyes. Kívülről nézve mindezt úgy tűnik, hogy a foton $t$ időt tesz meg, ezért a benti cselekmények lelassulni látszanak. A lassulási tényezőt ($\gamma$) Lorentz-tényezőnek is nevezik. Rögtön látszik, hogy $v$ nem szabad egyenlő legyen $c$-vel, különben $\gamma$ a végtelenbe ugrik. Geometriai szemszögből ez azt jelenti, hogy $x$ mindig kisebb kell legyen $y$-nál, tehát a foton útjának dőlésszöge sosem érheti el a $45^o$-ot. 

Mi történik, ha mégis van olyan részecske (talán a graviton), amely $n$-szer gyorsabban mozog a fotonnál:

\[(ct)^2 = (ct_0 )^2 + (nct)^2\] \[(ct_0 )^2 = (ct)^2 - (nct)^2 = t^2 (c^2 - n^2 c^2 )\] \[t_0 ^2 = \frac{t^2 (c^2 -n^2 c^2 )}{c^2}=t^2(1-n^2)\] \[t_0 = t\sqrt{1-n^2}\] \[ t=t_0 \frac{1}{\sqrt{1-n^2}}\]

Ebben az esetben is csak $0\leq n<1$ érték jöhet számításba, különben végtelent vagy komplex számot kapunk.

Ha a mozgó fényórával utazó személy kitekint a külvilágra, akkor úgy fogja találni, hogy a külvilág mozog hozzá képest. Ha ebben a külvilágban van egy másik fényóra, akkor annak fotonja ismét ferde útirányúnak fog tűnni és a belső szemlélő azt fogja látni, hogy a külvilág van lelassulva hozzá képest, éppen $\gamma$-szor. Mindkét szemlélő lassúbbnak látja a másik óráját a sajátjához képest. Nem csak az óra, de minden cselekmény lelassulni látszik a másik világban, emiatt úgy tűnik, hogy lassabban telik odaát az idő.

Tegyük fel, hogy a belső szemlélő meg szeretne mérni egy $d_0$ hosszúságú útszakaszt a külvilágból a mozgásának irányában. Tudja, hogy $v$ sebességgel halad a külvilághoz képest (vagy a külvilág hozzá képest), így számolni kezdi hányszor verődik a foton oda-vissza a tükrökről sajtát fényóráján míg az út végéhez ér. A $d=vt_b$ képlettel kiszámítja a megtett út hosszúságát, ahol $t_b$ az útszakasz során mért idő (b = belső). Ám mivel az órája kívülről nézve lassabban jár mint a külvilág órája, kevesebb ideig számol mire az útszakasz végéhez ér és ez rövidebb úthosszt fog eredményezni. A $t_b$ éppen a lassulási tényezővel ($\gamma$) lesz kevesebb, így a hosszúság is ugyanennyivel csökken:

- a külső szemlélő által mért táv (k = külső):

\[d_0=v\cdot t_k \]

- a belső szemlélő által mért táv (b = belső):

\[d=v\cdot t_b=v\cdot\frac{t_k}{\gamma}=\frac{d_0}{\gamma}\]

Az utazás a belső szemlélőnek tehát rövidebbnek tűnik, mint ahogy az kívülről látszik, sőt a külvilágból mindent rövidebbnek lát. Ez a rövidülés vagy kontrakció fordított esetben is igaz, a külső szemlélő is rövidebbnek fogja mérni a mozgás irányában a mellette elhaladó objektumot. Hogyan függ a testek mozgás irányú mérete a mozgás sebességétől a fény sebességéhez (C) képest:

A rövidülést Lorentz-kontrakciónak vagy hosszkontrakciónak is nevezik. Akár az idődilatáció, a rövidülés is a mozgás eredménye. Mindkét mérték a stacionárius állapotban ($v=0$) lévő értékhez van viszonyítva. A kontrakció miatt tűnik a fénysebesség konstansnak a belső megfigyelő számára. Mi történik akkor, ha a fényórát 90°-kal elforgatjuk: a foton az óra mozgásával azonos irányban fog mozogni.

Ebben az esetben a belső szemlélő számára továbbra is $y$ a foton úthossza, kívülről azonban az oda-vissza mozgás nem fog azonos hosszúságúnak látszani.

A külső szemlélő a fényóra viselkedését a következőképp látja:

A számításokban figyelembe kell venni a kontrakciót is, ami miatt a tükrök közti távolság megrövidül ($y_k \neq y$) a külső szemlélő számára. A belső szemlélő továbbra is $y=ct_0$ távolságot látja. A fényóra $v$ sebességgel $vt_0$ utat tesz meg, ami azt jelenti, hogy a foton a hátsó tükörtől az elöl haladó tükörig kívülről nézve $y_k+vt_0$ távolságot tesz meg. Ez a távolság belülről nézve azonban továbbra is $y$, tehát felírható, hogy:

\[y=y_k+vt_0\]

Ebből kifejezhető a foton jobbra haladó útjának ideje:

\[ct_0=y_k+vt_0\] \[y_k=ct_0-vt_0=t_0 (c-v)\] \[t_0=\frac{y_k}{c-v}\]

A foton visszirányban $y=-ct_0$ utat tesz meg belülről nézve, ami kívülről $-y_k+vt_0$ távnak látszik. Az előző levezetés mintájára kifejezhető a foton visszirányú útjának ideje:

\[y=-y_k+vt_0\] \[-ct_0=-y_k+vt_0\] \[-y_k=-ct_0-vt_0=t_0(-c-v)\] \[y_k=t_0(c+v)\] \[t_0=\frac{y_k}{c+v}\]

A foton teljes periódus ideje kívülről nézve ennek a két időnek az összege:

\[t=\frac{y_k}{c-v}+\frac{y_k}{c+v}=\frac{2\cdot y_k}{c\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)}=\] \[=\frac{2\cdot y_k}{c}\cdot\frac{1}{\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)}=\frac{2\cdot y_k}{c}\cdot y^2 \]

A stacionárius óra periódus ideje: $t_0=2y/c$. Rögtön látszik, hogy ha nem lenne kontrakció ($y=y_k$), akkor $t_0$ és $t$ között a különbség a négyzetes Lorentz tényező lenne.

\[t=t_0\gamma^2\]

Hogy össze lehessen mérni $t_0$ és $t$ értékeit, fel kell írni $y$ és $y_k$ közti összefüggést, ami nem más, mint a kontrakciós képlet:

\[y_k=\frac{y}{\gamma}\]

Ezt behelyettesítve $t$-be:

\[t=\frac{2\cdot\frac{y}{\gamma}}{c}\cdot \gamma^2 = \frac{2\cdot y}{c\gamma}\cdot \gamma^2 = \frac{2\cdot y}{c}\cdot \gamma \]

Ebből felírható, hogy $t$ és $t_0$ között a különbség:

\[\frac{t_0}{t}=\frac{\frac{2y}{c}}{\frac{2y}{c}\cdot \gamma}=\frac{1}{\gamma}\] \[t=t_0\gamma\]

Az idődilatáció ebben az esetben is $\gamma$. Az idő múlása szoros kapcsolatban áll a testek mozgásával. A GPS műholdak órájának időpreiódusa például nem azonos a földi órák időperiódusával.

Görbült terek

      A mozgásirányú kontrakció körmozgásnál is kialakul. Például ha egy nagy korong közepén lévő pálca egyre kijjebb kerül miközben a korong nagy sebességgel forog, akkor a pálca a korong széléhez közeledve egyre rövidebbé válik. Ez annak tulajdonítható, hogy a kerületi sebesség a kör közepéről távolodva egyre jobban növekszik, így a kontrakció is egyre nagyobb mértékű.

Akár a fényóra esetében, az aki együtt mozog a pálcával, azonos méretűnek fogja látni a pálcát minden pozícióban. Ha elfordítja a 90 fokkal, akkor hossza kívülről a stacionárius méretre áll vissza, hiszen a kontrakció csak a mozgás irányában érvényesül. A külső szemlélő ha a korong kerületének mérésére akarja használni megrövidült pálcát, akkor nagyobb számot fog kapni a kör sugarának két π-szeresénél. Einstein ezt a jelenséget az általános relativitás elméletben a téridő görbülésével magyarázta, mely a gyors mozgás miatt görbül meg, mert ekkor – akár a hiperboloidra rajzolt kör esetén – a kerület megnövekedhet.

A mozgó/gyorsuló testek testek görbítik a teret. A gyorsulás viszont megnöveli a test energiáját is, amely a belső szemlélőnek plusz tömeg érzetét kelti. Minél nagyobb a tömegtöbblet érzete, annál jobban meggörbül a tér. Eötvös Lóránd munkája alapján – miszerint a tehetetlenségi és a gravitációs tömeg ekvivalens – Einstein kijelentette, hogy nemcsak a gyorsulás révén szerzett tömegtöblettel rendelkező test, hanem bármilyen tömeggel rendelkező test görbíti a teret. Ezek szerint a tömegvonzás, vagy gravitáció egyszerre létezik és azonos a téridő görbületével, azaz nincs szükség gravitonokra a gravitáció megmagyarázásához. A leggyakoribb példa erre a kifeszített gumilepedős példa. Ez a gumilepedő egy két dimenziós világot képvisel, ahol előre, hátra, jobbra és balra lehet mozogni. Ha ezt a világot kívülről szemléljük, akkor egy sima felületet látunk, melyre ha nehezéket helyezünk, akkor behajlik azon a ponton. 

A belső szemlélő a világát továbbra is laposnak látja, csupán annyit tapasztal, hogy valamiféle erő őt a lepedő közepe felé vonzza. Ha enged a vonzási erőnek, akkor azt tapasztalja, hogy egyre jobban felgyorsul mozgása a középpont fele. Ha viszont fékezik és megpróbál tartani egy konstans sebességet, akkor azt tapasztalja, hogy több időbe telik a középponthoz való eljutás mint azelőtt. Felülről nézve mindezt nem látszik a mélyedés, viszont a belső szemlélő aki saját világában konstans sebességgel halad, látszólag egyre kisebb sebességgel közelít a középpont fele.

      A fekete lyuk is tulajdonképpen egy hatalmas tömeggel rendelkező égitestként nyilvánul meg, mely nagy mértékben görbíti a téridőt. Ha a gumilepedőn kéne szemléltetni a fekete lyukat, akkor olyannyira be kéne görbíteni a lepedőt, hogy a görbület alja ne is látsszon:

Ebben az esetben, felülről nézve a belső szemlélő (ami lehet akár egy foton is) haladását a középpont felé, az figyelhető meg, hogy az annyira lelassul, hogy szinte megáll. Valójában nem áll meg, hanem egyre nagyobb sebességgel halad a középpont fele, azonban minél közelebb kerül a gravitáció forrásához, annál nagyobb szögben hajlik meg a világa, ám ezt sem ő, sem a külső szemlélő nem látja. Ha fotonról van szó és fénye sosem éri el a központot, akkor az sötét marad. A három dimenziós fekete lyuk is hasonló ehhez, azonban kívülről egy fekete bolygóhoz hasonítható, mely bármilyen szögből nézve olyan, mint felülről a két dimenziós változata. A teret nem lefele, hanem központja irányába görbíti. Ugyanez igaz a bolygókra is, melyek a központjuk fele gravitálják a felszínükön vagy körülöttük lévő testeket. Az általános relativitás elmélet tehát a gravitációt és az időt a tömeg révén köti össze. Minél kisebb a tömeg – és így a gravitáció – annál kevésbé görbíti meg a teret, így annál gyorsabban telik közelében az idő. Minél messzebb van az óra a gravitáció központjától, annál gyorsabban jár. A gravitációs mező különböző pontjában mért idő eltérést gravitációs idődilatációnak nevezik.

\[t=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}\]

Ahol $t_0$ a gravitációs mező közelében eltelt idő, $t$ pedig a gravitációtól távoli pontban mért idő. A lassulási tényező ez esetben a gravitációt okozó tömegtől (M), a gravitációs állandótól (G) és a két megfigyelő közti távolságtól (r) függ. Ha az óra (melynek periódusa $t_0$) az őt hordozó égitesten áll (melynek tömege M), akkor sebessége az égitest szökési sebességével egyenlő:

\[t=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\Big(\frac{1}{c^2}\cdot\frac{2GM}{r}\Big)}}=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\Big(\frac{1}{c^2}\cdot v^2 \Big)}}\] \[\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\]

A tömeg (ami lehet nyugalmi tömeg, vagy gyorsulás révén szerzett tömeg) által keltett gravitációs tér meggörbíti a teret, ami viszont eltorzítja az idő múlását. A tömeg így egyszerre hat az időre és a térre, ami viszont elválaszthatatlan egymástól: a tömeg hatással van a téridőre.

A GPS órája:
- Az általános relativitáselmélet azt mondja, hogy minél közelebb van az óra egy nehéz tömeghez, például a Földhöz, annál lassabban jár. Ez azt jelenti, hogy a Föld körül keringő műholdas órák gyorsabban járnak, mint a Földön. Egy GPS-műhold 20000km-re van a Földtől, ezért napi 45,9 mikroszekundummal gyorsabban jár az órája.
- A speciális relativitáselmélet azt mondja, hogy a mozgó órák lassabban futnak egy álló megfigyelő órájához képest. Az idő lelassulása nyilvánvalóbbá válik, amikor valami közeledik a fénysebességhez. A műholdak bár nem haladnak fénysebességgel, ám nagyon gyorsan haladnak a földi megfigyelőhöz képest, tehát a hatás mérhető. A GPS-műholdak körülbelül 14000 km/h sebességgel haladnak a Föld sebességéhez képest. Ez azt jelenti, hogy az órája napi 7200 nanoszekundummal tűnik lassabbnak a Földről nézve, a speciális relativitáselmélet szerint.
- A két elmélet számításai szerint a GPS-műhold órája 45,9us - 7,2us = 38,7us-mal gyorsabb a földi órához képest.

Égitestek esetén a gravitációs idődilatációt gyakran a Schwarzchild-sugár függvényében használják:

\[r_s=\frac{2GM}{c^2} \Rightarrow t=t_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{rs}{r}}}\]

A Schwarzchild-sugár a test tömegével vagy energiájával azonos fekete lyuk eseményhorizontjának sugara. A Föld tömegét véve ($M=5,972\cdot10^{24}$kg) ez a sugár 8,87mm lenne, vagyis legfeljebb ekkora sugarú gömbbe kellene a Földet összepréselni, hogy fekete lyuk legyen. A Jupiternél 2,8m, a Nap esetén pedig 2,9km lenne az eseményhorizont sugara. A fény az eseményhorizont mögül nem jut ki, ezért ha egy égitest elég kicsi a sűrűségéhez képest, akkor nem látszik, azaz egy Schwarzchild-sugárú sötét bolygónak tűnik.

További számítások

A Földfelszín és egy mozdulatlan, nulla gravitációban lévő pont közti egységnyi időeltérés:

\[\Delta t_{\text{Föld}}=\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}=\sqrt{1-\frac{2\cdot \left( 6,6743\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2} \right)\cdot \left( 5,9722 \cdot 10^{24} kg \right)}{\left( 6371000 m \right) \cdot \left( 299792458 \frac{m}{s} \right)^2 }}=0.99999999930386886870715145216239\]

Ez azt jelenti, hogy pl. 1 év nulla gravitációban mozdulatlanul 0,999... év a Földön, ennnyivel lassítja a Föld gravitációja az idő múlását a felszínen. Számításba lehetne venni a Nap és a Tejútrendszer gravitációs vonzását is, de az oly csekély, hogy elhanyagolható. Nem úgy a mozgásból adódó dilatációt, ami nagy mértékben lassítja az idő múlását az álló referenciaponthoz képest. Ilyen mozgás a Föld forgási sebessége (465 m/s az egyenlítőnél), a Föld pályasebessége a Nap körül (29,783 km/s), a Naprendszer pályasebessége a Tejútrendszer központja körül (220 km/s), illetve Tejútrendszert tartalmazó galaxishalmaz forgási és sodródási sebessége az univerzumban. Tulajdonképpen minden mozog, ezért nincs egy olyan stacionárius pont amihez viszonyítani lehetne a mozgást. A mérések elvégzéséhez a tudósok az ősrobbanás utáni 380 ezredik évben kialakult kozmikus mikrohullámú háttérsugárzást (160,4GHz) vették alapul, mely az egész unverzumot kitölti. Ezt mérve Doppler-hatás tapasztalható a mozgással egyező és ellentétes irányában és azt kapjuk, hogy a Naprendeszer 550 km/s sebességgel halad a Tejútrendszerrel együtt az univerzumban egy nagy gravitációjú anyaghalmaz irányába. Ebből még le kell vonni a Föld Napkörüli sebességét és a Föld forgási sebességét, így lesz: 519,752 km/s. A a mozgásból szerzett időeltolódás:

\[\Delta t_{\text{Föld,mozgás}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\frac{\left( 519752 \frac{m}{s} \right)^2}{\left( 299792458 \frac{m}{s}\right)^2}}=0.9999984971305262573218\]

Egy hét (604800s) alatt ez a sebesség 1 másodperces eltérést okoz:

\[ t_{\text{Föld}} = 604800s\cdot \left( 1- \Delta t_{\text{Föld}}\right)=0.000421020108205914801732186528s\]

\[t_{\text{Föld,mozgás}}=604800s \cdot \left( 1- \Delta t_{\text{Föld,mozgás}}\right) =0.90893545771957177536s\]

\[t_{\text{Föld}}+t_{\text{Föld,mozgás}}=0.908514437611365860558267813472‬s\]

Ez azt jelenti, hogy hetente 1 másodperccel kevesebb idő telik a Földön, mint a mozdulatlan, nulla gravitációjú referenciapontban. A Föld keletkezése óta (4,54 miliárd év) ez a szám 416 ezer évre nő, ennyivel kevesebb idő telt el a Földön a referenciaponthoz képest.

Referenciaként tehát egy távoli pont szolgál nulla gravitációban, ahol az óra járását nem lassítja a gravitáció. Ahogy nő a távolság a gravitációs központtól, úgy kerül közelebb 1-hez a t/to időarány is. Ez azt jelenti, hogy a gravitációtól végtelen távolságban a megfigyelő órája 1 időegység (pl. másodperc) alatt pontosan 1 időegységet mér. Nullához közelítve pedig a megfigyelő órája 1 időegység alatt végtelen sok időegységet mér, negatív irányban pedig ismét közelíti az 1-et. A Föld gravitációs a központja fele azonban kisebb tömeggel kell számolni, ezért a dilatáció nem úgy változik, mint ahogy a felszítnől kifele távolodva. Tulajdonképpen az „r” sugáron kívül eső tömeg nem is játszik szerepet a gravitációban, ezért a központhoz közeledve egyre kisebb lesz a gravitációs változás. Ha feltételezzük, hogy a bolygó anyaga egyenlő eloszlású, akkor a gravitációs potenciált kétféleképp lehet felírni:

\[\Phi=-\frac{GM}{r}, \text{ ha } r\ge R,\text{ vagyis a felszínen vagy az fekett}\]

\[\Phi=-\frac{GM(3R^2-r^2)}{2R^2}, \text{ ha } r \le R, \text{ vagyis a felszínen vagy az alatt}\]

Ahol R a bolygó sugara, r pedig a központtól mért sugár. A felszínen (r=R) és a központban (r=0) a potenciálok:

\[\Phi=-\frac{GM}{R}, \text{ ha } r=R\]

\[\Phi=-\frac{3GM}{2R}, \text{ ha } r=0\]

A felszín és a központ közti gravitációs potenciálkülönbség:

\[\Delta\Phi=\Phi(R)-\Phi(0)=\frac{GM}{2R}\]

Az idődilatációs tényező a felszínhez viszonyítva a gravitációs vöröseltolódásból származtatható:

\[\Delta t_{\text{központ}}=1-\frac{\Delta \Phi}{c^2}=0,9999999996705503316057755600193\]

Ez azt jelenti, hogy a felszínen eltelt 1 időegység 0,999... időegység a központban. A Föld keletkezésétől számolva kiderül, hogy a központ másfél évvel fiatalabb a felszínnél:

\[4,54 \text{ miliárd év }\cdot (1-\Delta t_{\text{központ}})=1,4957 \text{ év}\]

Mount Everest

A Mount Everest magasságában (8848m) fellépő egységnyi gravitációs idődilatáció:

\[\Delta t_{\text{Everest}}=\sqrt{1-\frac{2GM}{(r+8848m)\cdot c^2}}=0,9999999993048343099296\]

Ez már kicsivel közelebb van tökéletes 1 időegységhez, az itt elhelyezett órát annyira nem lassítja a gravitáció és emiatt gyorsabban jár a felszíni órához képest. Ha ismét a Föld keletkezésétől számolunk, akkor azt kapjuk, hogy az Everest csúcsa 38 órával idősebb a felszínnél.

\[4,54 \text{ miliárd év } \cdot (\Delta t_{\text{Everest}} - \Delta t_{\text{Föld}})=0,004383 \text{év} = 38,4188 \text{óra}\]

GPS műholdak

A GPS navigációs műholdrendszer pályamagassága a felszíntől 20180 km.

\[\Delta t_{\text{GPS}}=\sqrt{1-\frac{2GM}{(r+20180000m)\cdot c^2}}=0,9999999998329610396485\]

Legyen az időintervallum 1 nap, vagyis 86400 másodperc. Az idődilatáció a felszínhez képest:

\[86400 \cdot (\Delta t_{\text{GPS}}-\Delta t_{\text{Föld}})=0,00004571356356933252s = 45,17 \mu s\]

Ebből levonódik még 7,2us a pálysebességből adódó dilatáció miatt, hisz a gravitációt félre téve, a Földről nézve, a mozgó műhold órája lassabban jár.

\[\Delta t_{\text{GPS,mozgás}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\frac{\left( 3888,88\frac{m}{s}\right)^2}{\left( 299792458\frac{m}{s}\right)^2}}=0,9999999999158648093895\]

\[86400 \cdot (1- \Delta t_{\text{GPS,mozgás}})=0,0000072692804687472s=7,269\mu s\]

\[45,713 \mu s - 7,269 \mu s = 38,444 \mu s\]

Hold

A Hold, akár a műhold, a Föld gravitációs vonzásában található (384400km távol), ezért úgy számolunk akár a műhold esetén, csakhogy figyelembe vesszük a Hold saját gravitációját is.

\[\Delta t_{\text{Hold}}=\sqrt{1-\frac{2GM}{(r+384400000m)\cdot c^2}}=0,9999999999886505103092\]

\[t_{\text{Hold}}=4,54 \text{ miliárd év } \cdot (\Delta t_{\text{Hold}}-\Delta t_{\text{Föld}})=3,1089 \text{ év}\]

Ebből még levonódik a pályasebességből adódó dilatáció, ami lassítja a holdi órát a Földről nézve:

\[\Delta t_{\text{Hold,mozgás}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\frac{\left( 1022 \frac{m}{s} \right)^2}{c^2}}=0,9999999999941892740943\]

\[t_{\text{Hold,mozgás}}=4,54 \text{ miliárd év } \cdot (1- \Delta t_{\text{Hold,mozgás}})=0,026380695611878 \text{ év}\]

Ebből még levonódik a Hold saját gravitációs dilatációja, ami közelebb viszi a holdi óra periódusát a földi órához.

\[\Delta t_{\text{Hold,saját}}=\sqrt{1-\frac{2G\cdot(7,342\cdot 10^22 kg)}{1737400m \cdot c^2}}=0,9999999999686181255343\]

\[t_{\text{Hold,saját}}=4,54 \text{ miliárd év } \cdot (1- \Delta t_{\text{Hold,saját}})=0,142473710074278 \text{ év}\]

\[t_{\text{Hold}}-t_{\text{Hold,mozgás}}-t_{\text{Hold,saját}}=2,94 \text{ év}\]

A Holdon 2,94 évvel kevesebb idő telt el mint a Földön, a Föld keletkezése óta (bár a Hold a Föld utáni 30-100 millió évben keletkezett).

Jupiter

A Juptieren, lévén, hogy jobban görbíti a téridőt, lassabban telik az idő a földi időhöz képest.

\[\Delta t_{\text{Jupiter}}=\sqrt{1-\frac{2G\cdot(1,8982 \cdot 10^{27} kg)}{69911000m \cdot c^2}}=0,9999999798367387607742\]

\[t_{\text{Jupiter}}=4,54 \text{ miliárd év } \cdot\ (\Delta t_{\text{Jupiter}}-\Delta t_{\text{Föld}})=-88,38 \text{ év}\]

A Jupiter 318-szor nehezebb, 11-szer nagyobb a Földnél és 88 évvel kevesebb idő telt el a felszínén, mint a Földön, a Föld keletkezése óta.

Gaia BH1

A Földhöz legközelebb eső (1650 fényév) fekete lyuk, amit a kutatók eddig észleltek, az a Gaia BH1, aminek tömege 9,62 Nap-tömeg, sugara 28,575 km. Egy Naphoz hasonló csillaggal keringenek egymás körül, aminek furcsa mozgása hívta fel a csillagászok figyelmét.

\[\Delta t_{\text{GaiaBH1}}=\sqrt{1-\frac{2G\cdot (9,62 \cdot 2 \cdot 10^{30} kg)}{28575,86472m \cdot c^2}}=1,2452873267072 \cdot 10^{-5}\]

\[t_{\text{GaiaBH1}}=1\text{ év } \cdot (\Delta t_{\text{GaiaBH1}} - \Delta t_{\text{Föld}})=-0,99998754643060179670715145216239 \text{ év}\]

Egy év a Földön 0,999... évvel kevesebb a Schwarzschild sugártól pár centiméterre, azaz 6,5499 perc. Ebből látszik, hogy számottevő eltérés csak olyan közeli távolságban mutatkozik és olyan nagy mértékben változik, amit földi organizmus nem élhetne túl méretei miatt. Ebben a távolságban a centiméter nagyságú test alsó és felső részére más gravitációs erő hat, ezért megnyúlik, spagettifikálódik.

Görbült fény

      Az általános relativitáselmélet megalkotása során az is felmerült, hogy a fényre is hathat a gravitáció, annak ellenére hogy nincs tömege, mert a speciális relativitáselmélet egyik következménye szerint a tömeg és az energia egyenesen arányos. Bár az $E=mc^2$ a legismertebb változata ennek, ez nem alkalmazható a fényre, hiszen nyugvó testekre vonatkozik, és a foton nem lehet nyugalmi állapotban, mert mindig fénysebességgel mozog a megfigyelőhöz képest. A bővebb változat: $E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$, ahol $p$ a részecske momentuma, ami nyugalmi állapotban nulla. Tehát nyugvó testek esetén $E=mc^2$, tömeg nélküli testek esetén $E=pc$. Ez az arányosság gyakorlatilag azt jelenti, hogy a nagy tömegű testek mellett elhaladó fénysugarak elgörbülnek a görbült tér mentén, így láthatóvá válik mindaz ami a nagy tömegű test mögött van. A görbe pálya viszont hosszabb utat jelent, tehát az azonos fényforrásból induló fotonok más-más időben érhetnek célba annak függvényében, hogy mennyit kanyargóznak a téridő görbületein. Ez a felfedezés végleg igazolta a gravitáció – azaz a tömeg idő felett gyakorolt hatását.

Szupergravitáció

      A három kvantum-térelmélet a részecskék négy típusú kölcsönhatásából hármat megmagyaráz:

• kavantum-elektrodinamika – mely a töltéssel rendelkező részecskék elektromágneses kölcsönhatását írja le (hullám-részecske kettősség);

• kvantum-színdnimaika – mely a hadron részecskék erős kölcsönhatását írja le;

• kvantum-elektrogyenge –  mely a hadron és lepton részecskék gyenge kölcsönhatását írja le;

A negyedik kölcsönhatás (vagy erő) a gravitáció, amely minden részecskére hatással van és itt nem szerepel, emiatt a három kvantum-térelméletet a nemgravitációs erők standard modelljének nevezik. Ha szerepelne, akkor a pontszerűnek tekintett részecskék melyek kitöltik az univerzumot, egy adott távolságon belül (Planch távolságban) a téridőt a fekete lyukakhoz hasonlóan görbítenék maguk köré. Ezek az apró lyukak rögtön energiává alakulnának, melyekből ismét részecskék keletkeznek, melyek ismét elgörbítenék a teret. Ha ez így menne, akkor nem létezne anyag (csak az ú.n. kvantumhab). A négy kölcsönhatás közül az elektromágneses és a gravitációs kölcsönhatás az, ahol az erőteret (mely egész spinű részecskékből áll) keltő részecskék hatása összeadódik, így könnyebb észrevenni. Nem csoda hát, hogy ezt a kettőt vették észre leghamarább: Newton a gravitációt (XVII.sz.) és Maxwell az elektromágnesességet (XIX.sz.). Bár a két felfedezés ellenmondásait Einstein kovácsolta össze az általános relativitáselméletben, ez mégsem fért össze a kvantum-térelmélettel. Ráadásul Einstein elképzelése a görbült téridőről nem zárta ki a végtelen erősségű gravitációt, a fény örökre csapdába esését a fekete lyukban, ahol már nem érvényes a relativitás elmélet.

Theodor Kaluza, lengyel származású matematikus 1919-ben rájött, hogyha négy tér- és egy időbeli dimenzióban oldja meg Einstein egyenleteit, akkor az eredmény hasonló lesz az elektromágnesességre vonatkozó Maxwell-egyenletekhez. Kaluza tehát egyesítette Einstein gravitációs elméletét Maxwell fényelméletével az ötödik dimenzió bevezetésével. Azt feltételezte, hogy a fény elektromágneses kölcsönhatása egy negyedik térbeli dimenzió miatt keletkezik, amely azért nem látható, mert kör alakban fel van csavarodva. Ez azt jelenti, hogy a részecskék talán nem is pontszerűek, hanem kiterjedt objektumok, húrok. Oskar Klein svéd fizikus 1920-ban be is bizonyította, hogy ilyen valóban létezhet. Erre legegyszerűbb példa ha távolról nézünk egy pálcát vagy egy kötelet, ami messziről vonalnak azaz két dimenziósnak, közelről pedig hengeres alakúnak, azaz három dimenziósnak látszik. 1926-ban Klein igazolta, hogy ez a kis felcsavarodott negyedik térdimenzió mérete a Planck hosszúságig zsugorodhat, amit már nem lehet megfigyelni, annyira kicsi.

A feltételezés, miszerint léteznie kell egy ötödik dimenziónak, az elektromágneses és gravitációs erőkkel működik, azonban az erős- és gyenge kölcsönhatások újabb fejlesztést igényelnek. Ehhez segítségül kell venni a szimmetriát, ami még a speciális relativitás elméletben megjelent, amikor az idődilatáció miatt mindkét megfigyelő szimmetrikusan lassúbbnak érzékelte társának óráját.

      A szimmetria a megfigyelők azaz a viszonyítási rendszerek egyenrangúságát fejezi ki és csakis miatta jöhet létre a négy kölcsönhatás. A kölcsönhatások ugyanis a megmaradási törvények fontos jellemzői, megmaradási törvényhez pedig csakis a szimmetria vezethet. Csakhogy nem biztos, hogy minden szimmetria ismert. Ez a bizonytalanság akkor merült fel, amikor 1925-ben kiderült, hogy Bohr atommodellje, miszerint a negatív töltésű elektron úgy kering a pozitív töltésű atommag körül, akár a Föld a Nap körül, több szempontból is téves. A klasszikus elméletek szerint ebben az esetben az elektronok elektromágneses hullámokat gerjesztenének, melynek energiája a magba rántaná őket. Ha az elektron pontrészecskeként van értelmezve, akkor nem írható fel a tengelye körüli forgása, viszont ha mégis hozzárendlenek egy forgást (spint), akkor nem szabályos forgás, hanem inkább konstans sebességű örvénylés lesz, ami olyannyira szükségszerű, hogy nélküle nem is létezhetne az elektron. Hamarosan kiderült, hogy ez nem csak az elektronra, de minden részecskére egyaránt igaz, tehát a forgással kapcsolatos szimmetria következményét – a spint – is bele kellett foglalni a standard modellbe.

      Az egész spinű részecskék (bozonok) szimmetriája azonban különbözik a feles spinű részecskék (fermionok) szimmetriájától: a bozonnal ellentétben a fermion hullámfüggvényét – mivel feles spinű –  kétszer kell körbefordítani, hogy kiinduló állapotába érjen. Ez azt jelenti, hogy két ellentétes előjelű fermion nulla spint, két azonos előjelű pedig egész spint eredményez, ami a hullámfüggvény antiszimmetriáját jellemzi. Wolfgang Pauli hamarosan bevezette kizárási elvét, miszerint minden feles spinű részecske csak párosával létezhet, azaz egy kvantumállapotban egyszerre csak egy fermion létezhet.  Ellenkező esetben minden test egy pontba zsugorodna vagy a végtelenig tágulna szét. A fermion szomszédjának spinje (kvantumállapota) fél egységgel kell különbözzön tőle, azaz nulla vagy egész spinű (bozon) kell legyen, melyet szuperpartnernek neveznek.  Mivel ezek a szuperpartnerek nem ismertek, ezért új részecskéknek kell tekinteni őket. Ezt az új szimmetriát (amit szuperszimmetriának – röviden SUSY-nek neveznek) nem lehet az eddig ismert 3 tér és 1 idő dimenzióból levezetni, még Kaluza negyedik térdimenziója sem elegendő, hanem definiálni kell további felcsavarodott dimenziókat. A dimenziók növelésével ugyanis nagyobb lesz a szabadságfok, így a valószínüségi számítások egyre ritkábban adnak hibás eredményt. A Klauza-Klein elmélet összesen 11 felcsavarodott dimenzióban tudta egyesíteni a négy alapvető kölcsönhatást, melyet szupergravitációs elméletnek neveztek. Ez azonban még mindig tartalmazott olyan végteleneket, melyeket nem lehetett renormálni, azaz csak adott tartományon belül volt érvényes.

    A húrelmélet, mely sok ellentmondással indult, a dimenziók számát 26-ra becsülte. A húrok minden dimenzióban rezeghetnek és a rezgések más-más energiaszinteknek felelnek meg, melyek különböző tulajdonságait képviselik a részecskéknek. A rezgésekkel tehát bármilyen kölcsönhatásban lévő részecske tulajdonsága levezethető. 

Előnye azonban éppen hátránya is ennek az elméletnek, mert olyan részecskét is eredményezhetnek a rezgések, mely létezését eddig nem igazolták, mint például a graviton, amit John Schwarz talált 1974-ben. Tíz évre rá, társaival kiküszöbölte az ellentmondásokat és a dimenziók számát 9 tér és 1 idő dimenzióra csökkentette. A szuperszimmetrikus húrok elmélete bizonyult a legjobb megközelítésnek a négy kölcsönhatás egyesítésére. Gyakorlatilag az általános relativitáselmélet és a kvantumelmélet közti ellentétet a pontszerű (szerkezet nélküli) részecskék húrokra való cserélése és a többletdimenzók bevezetése oldotta fel. Az újonnan született húrelméletet, mely magába foglalta a szuperszimmetriát, szuperhúrelméletnek nevezték. Az elmélet alapját képező szimmetria elv azonban ötféleképp is beépíthető volt a húrelméletbe, ami így öt lehetséges keletkezését írta le a részecskéknek azt a kételyt hagyva, hogy vajon melyik a helyes. Ennek korlátozására a dimenziók geometriája lenne a legalkalmasabb, melyekben a húrok rezegnek, ugyanis a rezgésminták nagyban függnek mozgásterüktől. Ennek kísérleti megfigyelése viszont nem egyszerű, hiszen Planck távokban kutatni a jelenlegi technológiával nem lehetséges. A húregyenletek segítségével matematikai úton viszont leszűkítették a dimenziók geometriáit néhány tízezer lehetséges változatra. A változatok számát tovább csökkentette az a felfedezés, miszerint a geometriában szerepelnie kell lyukaknak (vagy járatoknak), melyek adott helyeken metszik egymást, mert a rajtuk áthaladó húrok csak így vehetnek fel különböző rezgésmintákat. A probléma nem a megfelelő geometria megtalálása, hanem az eredmény megközelítő mivolta, hiszen ha csak egy helyes eredmény létezne, akkor a többit valami ki kéne zárja. Einstein gondolataira alapozva ha létezik végső elmélet, azt arról lehet majd felismerni, hogy nem lehet másmilyen. A megközelítéseket a megfelelő eljárás híján perturbációelmélettel számolják, amit érdemes volna minél inkább megkerülni. 1995-ben Edward Witten felhívta a figyelmet az öt elmélet között fellépő dualitásokra, pontosabban, hogy egyes elméletek erősen csatolt tartományai megegyeznek egyes elméletek gyengén csatolt tartományaival. Az elméletek közti dualitásokat tanulmányozva az is kiderült, hogy a 11 dimenziós szupergravitációs elméletből is el lehet jutni egyes húrelméletekhez és fordítva, tulajdonképpen bármelyik elméletből az öt közül levezethető a szupergravitációs elmélet, ha a 10 dimenzió mellett még egy szerepel. A különbséget az öt elmélet között tehát a nézőpont adta, amit a 11. dimenzióval közös nézőpontra lehetett hozni. A 11. dimenzió a húrok mellett több dimenziós rezgés felületeket is definiált, így született meg az M-elmélet. Bár ez sem oldotta meg dimenziók igazi alakjának problémáját (továbbra is perturbációszámítás szükséges), de feloldotta a dualitást az öt elmélet között és magába foglalta a szupergravitációt is. A részecske tulajdonságát leíró rezgést innentől kezdve nem kizárólag húr kelti, hanem többdimenziós felület. A felület dimenzióinak száma 1 és 9 között mozog, tehát továbbra is megmarad az 1 dimenziós húr, megjelenik a 2 dimenziós membrán, valamint a 2-nél magasabb dimenziós „p-brán”, ahol p a dimenzió száma. Witten szerint a húrok csak közelítések voltak, ezért tűnt különbözőnek az öt húrelmélet. A bránok közül a legfontosabb továbbra is az 1-brán vagyis a húr, mert ezek bizonyulnak a legkönnyebbnek a bránok közül, így a legkevesebb energiát igénylik rezgésükhöz. A húrok ezért sokkal inkább meghatározóbbak a részecskék tulajdonságainak a leírásában mint a többi brán, bár léteznie kell egy olyan tartománynak ahol a p-bránok is beavatkoznak ebbe.

   A húrok nem feltétlenül zártak, hanem rendelkezhetnek végpontokkal is. Amikor egy ilyen húr a téridőben rezeg, a végpontjai egy D-bránt kell érintsenek. Ez tulajdonképpen egy 2 dimenziós membrán, ahol a „D” a Dirichlet határfeltéltelből származik, melynek eleget tesz. A D-bránok legfontosabb tulajdonsága, hogy terjedelmének dinamikája olyan szimmetrikus mértékteret követ, melyet a részecskefizika standard modellje az elemi részecskék viselkedésének leírására használ. Ez a kapcsolat fontos elemzésekre sarkalta a tudósokat a mértéktérelmélet és a kvantumtérelmélet területén, így fedezték fel például a mérték/gravitáció dualitást (AdS=CFT), mellyel a mértéktérelméletben fellépő nehéz problémák átképezhetők matematikailag jobban nyomon követhető problémákká a húrelméletben. A fő indítéka a dualitás tanulmányozására a perturbációszámítás-mentes húrelmélet megfogalmazása.

Tömegváltozás és tömegközvetítés

      Leegyszerűsítve Einstein híres képletét $c=1$ és $E^2=m^2+p^2$. Ha az energiát a momentum függvényében ábrázoljuk, akkor egy hiperbolát kapunk, amire a tömeg a következőképp hat:

Ha a tömeg nulla (mint a foton esetén), akkor az energia tisztán a momentummal egyenlő. Hasonlóképp, az energia akkor is egyenlő a momentummal, ha az objektum nagy sebességgel halad:

Ebben az esetben a tömeg nem számít, azaz nem befolyásolja az objektum viselkedését. A nagy sebességű objektumok ugyanúgy viselkednek, tömegüktől függetlenül. Amikor viszont lassulni kezdenek, energiájuk nem követi a momentum egyenes vonalát, hanem elkanyarodik tőle a hiperbola mentén és p=0 esetben megállapodik egy értéknél, amit tömegnek hívunk és ami már hatással van az objektum viselkedésére. A foton ezzel ellentétben mindig ugyanúgy viselkedik mint a nagy sebességű objektumok, ezért nem érzékelhető ha lelassul azaz veszít energiájából, hisz akkor is ő marad meg a leggyorsabban terjedő objektumok tulajdonságaival. Ha egy tömeggel rendelkező test egyenletesen mozog, akkor energiája egy pontot képvisel a hiperbolán. Ha különböző megfigyelők különböző sebességgel mozognak a testhez képest, akkor méréseik különböző pontokként jelennek meg a hiperbolán. Mivel mindenképp a hiperbolán maradnak az eredmények elmondható, hogy a test mért tömege a megfigyelő mozgásától függetlenül változatlan. Ha viszont a test mozgása változik meg, akkor megváltozik tömege is, mert ekkor relativisztikus tömegről van szó. A testre ható erő azonban továbbra is a hiperbola mentén változtatja a tömeg értékét, ezért a testtel együtt gyorsuló mérleg nem fog különbséget tapasztalni, azaz a relativisztikus tömeget azonosnak látja a nyugvó tömeggel. A külső megfigyelők (melyek más-más sebességgel haladnak a testhez képest) más-más tömeget számolnak, a mozgásukhoz viszonyított relativisztikus tömeget.

      Az alapvető kölcsönhatásokat mértékbozonok közvetítik, melyeket erőhordozóknak is neveznek. Az elemi részecskék, melyek kölcsönhatásait a mértéktérelmélet írja le, mértékbozonok cseréje során kerülnek kölcsönhatásba egymással.

• Az egyes spinű mértékbozonok vektoriálisak, mint például az elektromágneses kölcsönhatást közvetítő foton, a gyenge kölcsönhatást közvetítő W és Z bozon, valamint az erős kölcsönhatást közvetítő gluon.
• A kettes spinű mértékbozonok tenzoriálisak, mint például a gravitációs kölcsönhatást közvetítő graviton.

Ezek a bozonok úgymond közvetítik a kölcsönhatások erőit a részecskék között, átruházzák egyikről a másikra.1950-ben Novobátzky Károly, később 2012-ben Peter Higgs felfedezett egy olyan bozont, mely tömeget ruház a részecskékre. A bozont utóbbi felfedezője után Higgs-bozonnak nevezték el. A Higgs-bozon spinje nulla, ezért skaláris mértékbozon, bár az erőhordozó elnevezés nem igazán talál rá. A tömegnélküli foton például – melynek semmi köze a Higgs-mezőhöz – érzi a gravitációs erőt. A gravitációt a tömegnélküli graviton közvetíti, a tömeget pedig a tömeggel rendelkező (125 GeV) Higgs-bozon. Éppen e tömeg miatt a Higgs folyamatok rendkívül ritkák, míg a gravitációs folyamatok igen széles körben jelen vannak (az egész univerzumban). A Higgs-mechanizmus csak töltött részecskékkel teli térben fordulhat elő, ami megakadályozza, hogy bizonyos erők nagyobb távolságokra terjedjenek, akár a szupravezető közegben. Egy ilyen közegben a töltött részecskékkel teli mezőnek vákuum várakozási értéke (kondenzátuma) van, ami egy olyan legalacsonyabb értéke az energiának amit vákuum esetén várni lehet. A fizikai rendszerben fellépő energiák lehetséges értékeit a rendszer potenciálfüggvénye adja, ami a Higgs-mező esetén a következőképp néz ki:

A rendszer energiapotenciálja a sík bármely értékét felvheti, és minden ponton más tömege lesz a mezőben lévő részecskének. Nulla tömeg egyedül az origóban lévő potenciálon mérhető. Mivel a fizikai rendszerek mindig a lehető legalacsonyabb energiaállapotban akarnak kerülni, a Higgs-mező is ebbe az állapotba igyekszik. Normál esetben a legalacsonyabb pont az origóban van (ilyenkor nincs várakozási érték), ám a Higgs potenciál origója nem a legalacsonyabb pont, így amikor a rendszer alacsony enrgiaállapotba áll, a benne lévő részecskék tömege megváltozik. A tömegváltozást tehát nem csak vektoriális erő, hanem a Higgs skalármező potenciálváltozása is okozhatja. A potenciálváltozás azonban antiszimmetrikussá teszi a rendszert, hisz potenciál nem az origóban lesz, így körbefordgatva a potenciálfüggvényt a két oldal nem lesz felcserélhető. Elméletileg az ősrobbanás idején ez a spontán szimmetriasértés adott tömeget a W és Z bozonoknak, valamint a fermionoknak.

Gravitációs hullámok

      Gravitációs hullámokat csak térben mozgó, tömeggel rendelkező testek kelthetnek. Ezek a hullámok a téridő mentén haladnak, azaz megváltoztatják a térbeli pontok távolságát és az idő érzékelését azokon a pontokon ahol elhaladnak. Ez a változás olyan kicsi, hogy például az egymás körül keringő fekete lyukak keltette hullámok az atommagok egy töredékének hosszúságával változtatnák meg a Naprendszer metrikáját. A feketelyukak kétféleképp kerülhetnek közel egymáshoz: egy csillagpár mindkét tagja szupernóvaként felrobban, vagy mindkét feketelyuk egyazon csillaghalmaz közepére süllyed.

      Ezt az elméletet Einstein dolgozta ki 1916-ban az általános relativitáselméletben, és 2015-ben sikerült észlelni először a LIGO-val (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory). A LIGO két, egymástól 3000 kilométerre lévő interferométer az Egyesült Államokban (egyik Hanfordban, másik Livingstonban). Mindkét interferométer két 4km hosszú egymásra merőleges karból áll L alakban. Mivel a gravitációs hullámok görbítik a téridőt, az interferométer egyik karja megrövidül, amint a hullám hatása alá kerül. A rövidülést méteressel nem lehetne érzékelni, hiszen a méteres is megrövidülne. Ami nem változik a gravitációs hullám hatására az a fénysebesség. Az interferométer L alakjának sarkából indított lézersugár egy nyalábosztó segítségével mindkét kar vége felé elindul, majd visszaverődik onnan. Az interferometria akkor válik be igazán, ha a karok hossza legalább olyan hosszú, mint az észlelni kívánt gravitációs hullám hullámhossza. Az 1-10 naptömegű mozgó fekete lyukak által keltett gravitációs hullámok hosszát pár 100Hz frekvenciájúra jósolták, így a karokban tükröket helyeztek el, amiben a lézerfény oda-vissza verődik, míg legalább 1000km-t meg nem tesz mielőtt visszaér a detektorhoz. A LIGO érzékenysége 10 és 100Hz közötti hullámok esetén a legnagyobb. Ha nincs jelen ilyen mértékű gravitációs hullám, akkor a karok azonos hosszúságúak maradnak és a detektorba visszaérkező nyalábok ellentétes fázisban érkeznek meg, kioltván egymás amplitúdóját. Ha a karok hossza megváltozik, L alakjuknak köszönhetően egyik rövidebb, másik hoszabb lesz, így a beérkező lézernyaláb fázisa nem fogja teljesen kioltani egymást. 2015 szeptemberében, majd decemberében is észleltek gravitációs hullámokat, legutóbb pedig 2017 januárjában volt ilyen felfedezés. Mivel a gravitációs hullámokat semmi nem tudja megakadályozni vagy eltéríteni útjuk során, így attól függően, hogy melyik kar mennyire változott meg, betájolható, hogy honnan érkezett a gravitációs hullám, erősségéből pedig hogy milyen messziről. Az észlelések során ellenőriztek néhány alapvető tulajdonságot, mint például a diszperziót, amit az általános relativitás elmélet kizár, vagy a gravitációs hullámok sebességét, mely az általános relativitás elmélet szerint a fénysebességgel egyenlő. Még a speciális relativitáselmélet is leszögezte, hogy a c konstans nem csupán a fény terjedési sebességét jelenti, hanem azt a legnagyobb sebességet, amellyel egy fizikai kölcsönhatás végbemehet. A c gyakorlatilag az idő és a tér mértékegységének konverziós tényezője, mert ez az egyetlen közös tényező, mely nem függ a megfigyelő mozgásától vagy a gravitáció/fény forrásától. A fénysebesség tehát ugyanaz mint a gravitációs hullámok sebessége vagy bármilyen tömegnélküli részecske sebessége. Ilyen a gluon (az erős kölcsönhatást közvetítő részecske), a foton (az elektromágneses kölcsönhatást közvetítő részecske), vagy a graviton (a gravitációs kölcsönhatást közvetítő részecske amit még nem sikerült kimutatni, bár szükségszerűsége nyilvánvaló sok elméletben).

Multiverzum

       A speciális relativitáselmélet idődillatációjának több gyakorlati bizonyítéka és alkalmazása van, mint például a GPS órajelének korrekciója, a repülőgépre helyezett atomóra és a földi atomóra közti eltérés, a Michelson-Morley kísérlet vagy a müon részecskék elbomlásának időtartama, ahol a nyugalmi tömeggel rendelkező és közel fénysebességgel mozgó részecskék élettartama a relativisztikus idődilatáció miatt meghosszabbodik. A jövőbe utazás tehát a klasszikus (Newtoni) 60 másodperc/perc sebességnél gyorsabban is történhet, ha az utazó a térben nagy sebességgel mozog, és/vagy nagy gravitációs erő hatása alatt áll.

      A múltba utazás viszont ezen elméletek alapján nem vezethető le, legalább is ugyanazon koordináta (vagy innercia) rendszeren belül, többek között az anyag-energia megmaradás és a kauzalitás paradoxonok miatt. A különböző sebességgel mozgó megfigyelők, bár más sorrendben tapasztalhatják az események sorrendjét, attól még nem utazhatnak újból vissza egy számukra megtörtént esemény előtti időbe. A kvantummechanika viszont lehetőséget ad Hugh Everett sokvilág-interpretációjának, miszerint minden lehetséges esemény egy párhuzamos univerzumot jelent, így a múlt megváltoztatása nem lenne hatással az időutazó jövőjére. Mindez hasonló a kvantumszámítógép működéséhez, ahol a qubitek egyszerre több állapotot is felvehetnek, amikor szuperpozícióban vannak, ugyanígy az univerzum is lehet egyszerre több állapotban. A különbség, hogy míg a qubitek hullámfüggvénye összeomlik amikor a sajátállapotok szuperpozíciója egyetlen sajátállapotra zsugorodik, addig az univerzumok hullámfüggvénye stabil marad. Ha egy időutazó megváltoztatja a múlt szerkezetét (amihez már annyi is elég, hogy visszautazik), akkor egy másik lehetséges univerzumba kerül anélkül, hogy származási univerzumának hullámfüggvénye megsérülne. Everett elmélete szerint ez azért lehetséges, mert a megfigyelő és a megfigyelt objektum sajátállapota egymáshoz képest relatív, és a megfigyelés pillanatában összefonódik. A megfigyelést követően így a kvantum-szuperpozíció minden eleme két „relatív állapotot” tartalmaz: a megfigyelő által konstatált összeomlott állapotot, valamint ennek és a megfigyelő sajátállapotának összefonódott állapotát. A relatív állapotpárok további fejlődése mindig konzisztens marad a korábbi állapotokkal, azaz a múltbéli megfigyelések hatással vannak a jövőbeli megfigyelésekre. A kvantum-dekoherencia következtében a megfigyelő a hullámfüggvényt mindig összeomlani véli, így az összeomlott hullámfüggvény fogalma a kvantum-dekoherenciára cserélhető és ezáltal a megfigyelő szerepe is lényegtelenné válik a folyamatok alakulása során. Elhagyva a nem-determinisztikus hullámfüggvény-kollapszust a determinisztikus kvantumelméletből sok ellentmondást felold, ideértve a Schrödinger macska kísérletet, az Einstein-Podolsky-Rosen paradoxont vagy éppen a hullám-részecske kettősséget.

      A kvantumszámítógép bemeneti adatok nélkül is felkínálja egy adott feladat összes lehetséges megoldását, és eszerint a jelen időben már létezhet egy olyan párhuzamos univerzum, aminek múltjában az időutazó már változtatott valamit. Ha minden lehetséges múlt és jövő egyszerre létezik, akkor ezeknek az univerzum születésétől folyamatosan létezniük kellett, azaz nincs egy közös pont, ahonnan az elágazások indultak; az ágak párhuzamosak. Bár ez a koncepció megoldja a kauzalitási paradoxonokat, a tömeg/anyagmegmaradás törvénye kérdéses marad, mert, ha a múltba utazott anyag nem ahhoz az univerzumhoz tartozik, akkor vajon létezhet-e benne? Ha létezhet, akkor az univerzum nyílt rendszer, és létrejöhet az energia- és az anyagcsere a párhuzamos világok között. Ha az energia- és tömegmegmaradás törvénye az egész multiverzumra vonatkozik, nem pedig külön-külön a párhuzamos univerzumokra, akkor az időutazó egyik világból a másikba lépve nem sérti meg a fizika törvényeit, sőt akár több példánya is létezhet az adott univerzumban, éppen úgy, ahogy egyetlen példány sem létezhet néhány másikban.

Fénykúpok és zárt időgörbék

      Egy rendszer fejlődését vizsgálva az általános relativitáselméletben, gyakran csak fénykúpok segítségével lehet leírni az objektumok időbeli evolúcióját egy adott állapotban, vagy a lehetséges pozícióit a jelenlegi helyzetének függvényében. Egy objektum lehetséges jövőbeli pozíciói mozgásának sebességétől függenek, ami legfeljebb a fénysebesség lehet. Emiatt legfeljebb 45 fokos dőlésszögű lehet az objektum útja az időtengelyhez képest, ahogyan ez az idődilatációnál is bebizonyosodott. A kúp belsejében haladó objektumok az úgynevezett „időszerű” elmozdulást végzik (azaz fénysebesség alatt haladnak), a kúp felületén mozgó objektumok „fényszerű” elmozdulást hajtanak végre (azaz a fénysebességgel haladnak), a kúpon kívül haladó objektumok pedig „térszerűen” mozognak, és sosem kapcsolódhatnak a t=0 ponton, különben gyorsabban mozognának a fénynél. Grafikusan egy kúp ábrázolódik, mely az objektum lehetséges útvonalait reprezentálja a tér minden irányában.

A kúp minden egyes pontja egy-egy eseményt képvisel. Ha az objektum szabadesésben van, akkor az időtengellyel párhuzamosak az eseménypontjai, ha gyorsul, akkor egyre inkább a kúp valamely széle felé tolódnak.  A kúp inverze a negatív időtartományban az objektum múltbéli lehetséges eseménypontjait ábrázolja.  A t=0 pontban lévő esemény elindítója bármely eseménypont lehet a negatív kúpról vagy annak belsejéből. A fénykúp koncepció azért kiemelkedő fontosságú a kauzalitásban, mert minden megfigyelő, aki az adott eseményt megfigyeli, ugyanazt a fénykúpot kapja, függetlenül attól, hogy a téridő mely szögletéből figyel.

Legyen 2 megfigyelő A és B a téridő különböző szögleteiben. Mindketten szemtanúi az 1, 2 és 3 eseménynek a következő ábra alapján:

Az A megfigyelő az eseményeket 1,2,3 sorrendben látja, míg a B megfigyelő 2,1,3 sorrendben. Az 1. esemény mindkét megfigyelő számára megelőzi a 3. eseményt, mert azok egymás fénykúpjába esnek: az 1. szerepel a 3. esemény múlt-fénykúpjában, a 3. esemény pedig az 1. jövő-fénykúpjában, ezért elmondható, hogy a 3. esemény kiváltója lehet az 1. esemény.  A 2. esemény azonban mindkét fénykúpon kívül esik, így különböző szemszögből különböző eseménysorrend tapasztalható. Ha az 1. jövő-fénykúpja magába foglalná a 2. eseményt is, az A szemszögéből azt jelentené, hogy az adott objektum gyorsabban utazott a fénynél, de ettől még nem változna az események sorrendje. A B megfigyelő viszont azt tapasztalná, hogy az objektum visszament az időben, hisz megváltozott az események sorrendje. Ezért van az, hogy bizonyos szemszögből a fénynél gyorsabb utazás időutazást is jelent.

      A fénykúp ábrákon a tér és az idő tengelye egyenes tengelyekkel van ábrázolva, hogy a kauzalitás folytonossága megmaradjon, viszont görbült téridőben a kúpok tengelye a téridő mentén görbül. Nagy gravitációs térben a múlt és jövő eseménypontjai közelebb kerülhetnek egymáshoz. Egy külső megfigyelő számára ilyenkor a szabadesésben lévő objektum irányt változtat - orbitális pályára áll. A görbület mértéke nem haladhatja meg a 45 fokot, azaz múlt egyetlen pontja sem előzheti meg a jövőt, amennyiben az objektum sebessége nem haladja meg a fénysebességet.  A téridő minden pontjának megvan a maga fénykúpja, és egyik fénykúp jövőbeli eseménypontjai egy másik fénykúp múltbéli pontjaiként szolgálhatnak. Ha ezt a fénykúpláncot egy görbült téridőn ábrázoljuk, akkor akár a lokálisan egyenes időtengelyű fénykúpok is visszakanyarodhatnak a múltjuk irányába.

Ha a téridő eléggé görbült akkor az utolsó fénykúp végül az első kezdetéhez érkezhet anélkül, hogy egyetlen objektum is meghaladná a fénysebességet. Az ilyen hurok neve zárt „időszerű” görbe (CTC – Closed Time-like Curve), mert az elmozdulások a kúp belsejében maradnak. Kurt Gödel 1949-ben ezt le is vezette Einstein mezőegyenleteiből, a kérdés az maradt, hogy miként keletkezhetnek efféle hurkok.

      1974-ben Frank Tipler felfedezte, hogy az időgörbét egy masszív, végtelen hosszúságú, közel fénysebességgel forgó henger is hurokká alakíthatja. Az általános relativitáselmélet leírja hogyan görbíti meg a téridőt a gyorsan forgó objektum. A forgó objektumnak más az energia-stressz tenzora, mint a nemforgó objektumnak, hisz szóba jön perdület és a mozgási energia, és ezekre a téridő is reagál. Emiatt a forgó objektum nem csak meggörbíti, de meg is csavarja a téridőt maga körül (frame dragging).

Az egyenletek csak akkor eredményeznek zárt időgörbét, ha az objektum henger alakú, szupersűrű és végtelen hosszúságú. Tripler szerint, egy véges henger is megfelelne, ám annál gyorsabban kéne forogjon, minél rövidebb.

A hengertől távol a téridő görbülete elhanyagolható, a fénykúpok az időtengelyre igazodnak, azaz a pozitív irányba a jövő-kúp (zöld), negatív irányba pedig a múlt-kúp (piros) található. A henger közelében egyre inkább meggörbül a téridő, és a jövő-kúpok a henger forgásirányába dőlenek. A henger közvetlen közelében a fénykúp orientációja már teljesen merőleges az időtengelyre, így a múlt-kúpból érkező objektumok (piros vonal) egy negatív jövőbe, a múltba érkeznek meg. Az érkezés pontja lehet egy másik múlt-kúp bejárata, ami további negatív jövő felé mutat, így az utazás a múltba addig tart, míg az objektum a hengertől távolodni nem próbál. Ugyanez lehetséges pozitív irányba is, mindez a henger megközelítési szögétől függ. Az elmélet hibája, hogy megoldása egy olyan henger, amelynek létezése vagy előállítása jelenleg elképzelhetetlen.

Féregjáratok

      Egy másik levezetése Einstein egyenleteinek a féregjáratok segítségével teszi lehetővé a múltba való utazást. 1988-ban Kip Thorne rájött egy olyan megoldásra, miszerint a féregjáratok különböző időben létező tartományokat is összeköthetnek.  A féregjáratok a téridő különböző pontjait kötik össze úgy, hogy áthaladva rajtuk kevesebb időbe telik, mint a téridő mentén megtett út. A járatok végpontjai elméletileg lehetnek ugyanazon vagy párhuzamos univerzumok részei. Korábban azt gondolták, hogy a féregjáratok nagyon instabilak és valószínűleg a saját gravitációjuk okozná vesztüket még mielőtt egy foton átjuthatna rajtuk. A fekete lyukak tanulmányozása (Stephen W. Hawking - 1974) azonban oda vezetett, hogy negatív energia szükségeltetik a fekete lyukak termodinamikai egységének konzisztenciájához. Az ilyen tulajdonsággal rendelkező anyagot exotikus anyagnak is nevezik és szerepet játszhat a féregjáratok összeomlásának megakadályozásában, hisz taszítja a gravitációt. Bár a fekete lyukak létezése már bizonyosságot nyert, a féregjáratok létezése még kérdéses marad. Különböző időt összekötő féregjárat akkor alakulhat ki, ha a járat egyik szája nagy sebességgel mozog, vagy erős gravitációs tér közelében van. Tulajdonképpen, ha egy kicsit is eltér a ki- és bejárat téridő körülménye (ami nagyon valószínű), akkor a féregjárat már időgépként funkcionál, hisz idődilatáció lép fel a szájak között. A mozgó szája a féregjáratnak lassabban öregszik, hiszen számára lassabban telik az idő. Hogyha megáll, fiatalabb lesz a másik szájhoz képest. Az idő a két száj között viszont nem úgy kapcsolódik, mint a téridő mentén, hanem folyton szinkronban van egymással attól függetlenül, hogy egymáshoz képest mozognak-e vagy sem. Ez azt jelenti, hogy a fiatal szájon belépő utazó abban az időben lépik ki a másik szájon, amikor az még a fiatal szájjal egyidős volt. Ez magával vonja annak korlátját, hogy a stabil száj koránál visszább nem lehet utazni az időben.

A.  Az űrhajó a féregjárat stacionárius szájától indul, és a téridőben teszi meg útját a másik szájig.

B. Eközben a másik szájat egy nagy tömegű objektum a saját gravitációs mezejével vonszolja el. Az objektum a fénysebességhez közeli értékre gyorsul és megteszi a rakéta által megtett távot.

C. Ugyanez történik fordított irányba, az objektum visszaviszi a féregjárat száját az eredeti pozíciójába, így mire a rakéta a bejárathoz ér, a két száj közti idődilatáció mértéke miatt a rakéta a saját múltjába érkezik meg, amint túlrepült a féregjáraton.

Az elméleti féregjáratok olyan energia-eloszlást követelnek, melyek megsértenek bizonyos feltételeket, mint a null-energia, a gyenge, erős és domináns energia-feltételek. Bár a kvantum világban egyes hatások megsérthetik a null-energia feltételt, a féregjárathoz szükséges negatív energia mennyiség nem jöhetne létre.